수학

테일러 정리

Taylor's Theorem

어떤 점에서 미분 가능한 함수를 다항함수의 급수(테일러 급수) 형태로 근사하는 정리. 동적 시스템 근사에 활용됨.

리만 적분

Riemann Integral

구간을 잘게 쪼개어 사각형의 합(리만 합)의 극한으로 정적분을 정의하는 고전적 적분 방식.

로피탈의 정리

L'Hôpital's Rule

함수의 극한에서 부정형을 계산할 때, 분모와 분자를 각각 미분하여 극한을 구하는 정리.

볼차노-바이어슈트라스 정리

Bolzano-Weierstrass Theorem

유계인 임의의 수열은 수렴하는 부분수열을 갖는다는 정리. 실수의 완비성을 증명하는 기반.

하이네-보렐 정리

Heine-Borel Theorem

유클리드 공간의 부분집합이 콤팩트(Compact)할 필요충분조건은 그 집합이 닫혀 있고 유계(Closed and Bounded)라는 정리.

편미분과 그래디언트

Partial Derivatives & Gradient

다변수함수의 각 변수에 대한 순간변화율(편미분)과, 이를 모아 함수가 가장 빠르게 증가하는 방향을 알려주는 벡터(그래디언트).

그린 정리

Green's Theorem

평면 위의 선적분을 영역에 대한 이중적분으로 바꿔주는 정리. 스토크스 정리의 2차원 특수한 경우.

스토크스 정리

Stokes' Theorem

곡면 위의 선적분(경계를 따라)을 곡면에 대한 면적분으로 연결하는 정리. 그린 정리를 3차원으로 일반화한 것.

코시-리만 방정식

Cauchy-Riemann Equations

복소함수 가 미분 가능(정칙)하기 위해 만족해야 하는 편미분 방정식 계.

코시 적분 공식

Cauchy's Integral Formula

복소해석학에서 정칙함수의 내부 값이 경계에서의 선적분으로 완전히 결정된다는 정리.

르베그 적분

Lebesgue Integral

치역을 쪼개어 측정(Measure, 측도)하는 방식으로 정의한 현대적 적분. 리만 적분이 불가능한 디리클레 함수 같은 경우도 적분 가능함.

디리클레 판정법

Dirichlet's Test

무한급수의 수렴 여부를 판정할 때 사용하는 방법으로, 교대급수 판정법을 일반화한 형태.

시그마 대수

Sigma-Algebra

측정 가능한 집합들의 모임이 만족해야 할 대수적 구조. 확률론과 적분론을 엄밀하게 세우는 기초.

르베그 측도

Lebesgue Measure

구간의 길이 개념을 일반적인 집합으로 확장한 측도. 르베그 적분을 정의하는 데 필수적.

지배수렴정리

Dominated Convergence Theorem

특정 조건 아래에서 함수열의 극한과 적분의 순서를 바꿀 수 있다는 정리. 해석학 전반에서 매우 자주 쓰이는 도구.

가우스 소거법

Gaussian Elimination

행렬의 기본 행 연산을 사용하여 연립일차방정식을 풀거나 역행렬을 구하는 알고리즘. 행 사다리꼴(REF)을 만듦.

가우스-조르당 소거법

Gauss-Jordan Elimination

가우스 소거법을 확장하여 행렬을 기약 행 사다리꼴(RREF)로 만들어 연립방정식의 해를 직접 구하는 알고리즘.

그람-슈미트 과정

Gram-Schmidt Process

임의의 기저(Basis)를 내적 공간의 직교 기저 또는 정규직교 기저로 변환하는 알고리즘.

코시-슈바르츠 부등식

Cauchy-Schwarz Inequality

내적 공간에서 두 벡터의 내적과 크기 사이에 성립하는 부등식.

케일리-해밀턴 정리

Cayley-Hamilton Theorem

모든 정사각행렬은 자신의 특성방정식을 만족한다는 정리. 행렬의 고차 거듭제곱을 낮출 때 사용.

조르당 표준형

Jordan Canonical Form

임의의 정사각행렬을 대각행렬과 유사한 형태(블록 대각행렬)로 변환하는 기법. 대각화가 불가능한 행렬을 다룰 때 사용.

라그랑주 정리

Lagrange's Theorem

유한군 의 부분군 가 있을 때, 부분군의 원소 개수(위수)는 전체 군의 원소 개수의 약수여야 한다는 정리.

실로우 정리

Sylow Theorems

유한군의 구조를 파악할 때 사용되는 정리로, 군의 위수의 소인수 분해 결과에 대응하는 특정 부분군(실로우 부분군)의 존재와 개수를 보장함.

갈루아 군

Galois Group

체 확장의 자기동형사상들이 이루는 군. 방정식의 대수적 가해성을 군론적으로 판단하는 도구.

5차방정식의 비가해성

Insolvability of the Quintic

갈루아 군이 가해군이 아니면 방정식의 해를 사칙연산과 거듭제곱근만으로 나타낼 수 없다는 정리. 5차 이상의 일반 방정식에는 근의 공식이 존재하지 않음을 보임.

베셀 방정식

Bessel's Equation

원통 좌표계에서 라플라스 방정식을 풀 때 나타나는 특수 미분방정식. 그 해를 베셀 함수라고 함.

슈투름-리우빌 이론

Sturm-Liouville Theory

특정 형태의 2계 선형 미분방정식의 고윳값 문제를 다루는 이론. 양자역학 및 전자기학의 고유함수 전개의 기초가 됨.

푸리에 변환

Fourier Transform

시간이나 공간에 대한 함수를 주파수 성분으로 분해하는 변환. 미분방정식을 대수방정식으로 변환하여 해결함.

라플라스 변환

Laplace Transform

시간 영역의 미분방정식을 복소수 주파수 영역의 대수방정식으로 변환하여 초기값 문제를 해결하는 도구.

라플라스 방정식

Laplace's Equation

조화함수를 정의하는 방정식으로, 정전기학·유체역학·열평형 등 다양한 물리 현상의 정상상태를 기술함.

열방정식

Heat Equation

시간에 따라 열이 어떻게 확산되는지를 기술하는 포물선형 편미분방정식.

파동방정식

Wave Equation

진동과 파동의 전파를 기술하는 쌍곡선형 편미분방정식. 현의 진동, 음파, 전자기파 등에 적용됨.

페르마의 소정리

Fermat's Little Theorem

소수 와 의 배수가 아닌 정수 에 대해 성립하는 정리. RSA 암호 알고리즘의 기반.

오일러 정리

Euler's Theorem

페르마의 소정리를 일반화한 것으로, 서로 소인 두 정수 에 대해 성립함.

소수 정리

Prime Number Theorem

주어진 수 이하의 소수 개수가 얼마나 되는지를 근사적으로 알려주는 정리.

리만 제타 함수

Riemann Zeta Function

소수의 분포와 깊이 연관된 복소함수. 리만 가설은 이 함수의 영점 위치에 대한 미해결 추측.

하우스도르프 공간

Hausdorff Space

서로 다른 두 점을 각각 포함하고 서로 겹치지 않는 열린 집합이 항상 존재하는 위상공간. 대부분의 대수적·해석적 위상 공간의 기본 전제 조건.

연결공간

Connectedness

두 개의 서로소인 열린 집합으로 나눌 수 없는 위상공간. 중간값 정리를 일반적인 위상공간으로 확장하는 개념.

컴팩트성

Compactness

모든 열린 덮개가 유한한 부분 덮개를 갖는 성질. 유클리드 공간에서는 하이네-보렐 정리로 유계·닫힘과 동치가 됨.

가우스-보네 정리

Gauss-Bonnet Theorem

곡면의 기하학적 성질(곡률의 적분)과 위상적 성질(오일러 지표)을 연결하는 미분기하학의 핵심 정리.

리만 기하학

Riemannian Geometry

매끄러운 다양체 위에 내적(리만 계량)을 정의하여 휘어진 공간에서의 거리, 각도, 곡률을 다루는 기하학. 일반상대성이론의 수학적 토대.

기본군

Fundamental Group

공간 위의 폐곡선들을 호모토피 동치로 묶어 만든 군. 공간의 구멍이나 연결 구조를 대수적으로 포착함.

호몰로지

Homology

위상공간의 구멍의 개수와 차원을 대수적 불변량(호몰로지 군)으로 나타내는 이론. 기본군보다 계산이 쉬워 널리 쓰임.

뉴턴-랩슨 메서드

Newton-Raphson Method

도함수를 사용하여 방정식 의 근을 수치적으로 근사하는 반복 알고리즘.

룽게-쿠타 방법

Runge-Kutta Methods

미분방정식의 초깃값 문제를 컴퓨터로 풀 때 사용하는 고정밀 수치 계산 알고리즘 군 (특히 4차 변형인 RK4가 흔히 쓰임).

라그랑주 승수법

Lagrange Multiplier

제약 조건이 있는 최적화 문제를 해결하기 위해, 제약 식에 새로운 변수(승수)를 도입하여 무제약 극값 문제로 변환하는 방법.

볼록함수와 전역 최적해

Convexity & Global Optima

함수가 볼록하면 지역 최적해가 곧 전역 최적해가 된다는 성질. 최적화 문제의 난이도를 가늠하는 핵심 기준.

KKT 조건

Karush-Kuhn-Tucker Conditions

부등식 제약이 있는 최적화 문제에서 최적해가 만족해야 하는 필요조건. 라그랑주 승수법을 부등식 제약으로 일반화한 것.

쌍대성

Duality

원래의 최적화 문제(원문제)와 짝을 이루는 다른 최적화 문제(쌍대문제) 사이의 관계를 다루는 이론. 최적값의 하한을 구하거나 문제를 더 쉬운 형태로 바꾸는 데 활용됨.

그래프 이론

Graph Theory

정점과 간선으로 이루어진 구조를 다루는 수학 분야. 네트워크, 알고리즘, 화학구조 등 다양한 분야의 기초 언어.

조합론

Combinatorics

경우의 수를 세는 방법을 체계적으로 다루는 분야. 순열, 조합, 이항정리 등이 기본 도구.

수학적 귀납법

Mathematical Induction

자연수에 대한 명제를 기저 단계와 귀납 단계로 나누어 증명하는 방법. 알고리즘의 정확성 증명에도 널리 쓰임.

확률공간과 확률변수

Probability Space & Random Variables

표본공간, 사건, 확률측도로 이루어진 확률공간과, 그 위에서 정의된 확률변수의 개념. 현대 확률론의 공리적 출발점(콜모고로프 공리).

대수의 법칙과 중심극한정리

Law of Large Numbers & CLT

독립시행을 반복할 때 표본평균이 어떻게 모평균에 수렴하고, 그 분포가 어떤 모양을 갖는지를 설명하는 확률론의 두 핵심 극한정리.

마르코프 연쇄

Markov Chain

다음 상태가 현재 상태에만 의존하고 과거 이력과는 무관한 확률 과정. 랜덤워크, 페이지랭크 알고리즘 등에 응용됨.

명제논리와 술어논리

Propositional & Predicate Logic

참/거짓을 다루는 명제논리와, 변수와 한정기호(모든, 존재)를 포함하는 술어논리. 수학적 증명의 형식적 토대.

괴델의 불완전성 정리

Gödel's Incompleteness Theorems

일관된 공리 체계 안에는 참이지만 증명할 수 없는 명제가 반드시 존재한다는 정리. 수학 기초론에 큰 충격을 준 결과.